Kugeln in Urnen

Kugel-Rätsel – die verborgenen Kugeln

 

Aufgabenstellung:

 

In einer von drei Urnen befinden sich zwei weisse Kugeln, in der anderen eine weisse und eine schwarze Kugel und in der dritten zwei schwarze Kugeln. Die Urnen sind zwar beschildert – auf dem einen Schild steht WW, auf dem anderen WS und auf dem dritten SS. Aber jemand hat die Schilder so vertauscht, dass sie auf keinen Fall mehr den Inhalt der einzelnen Urnen angeben.

 

Man darf nun so lange nacheinander jeweils eine Kugel aus einer der Urnen nehmen (ohne hineinzuschauen!), bis eindeutig feststeht, welche Urnen welche der drei Kugelpaare enthalten.

 

Wie viele Kugeln muss man mindestens herausnehmen, um dieses Ziel zu erreichen?

 

 

 


 

 

Analoge Aufgabe für vier Urnen:

 

In einer befinden sich drei weisse Kugeln, in einer zwei weisse und eine schwarze Kugel, in der dritten eine weisse und zwei schwarze und in der vierten drei schwarze Kugeln. Die Urnen sind entsprechend beschildert, aber wiederum derart, dass die Schilder auf keinen Fall den Inhalt der einzelnen Urnen angeben.

 

Wie viele Kugeln muss man nun mindestens herausnehmen, bis eindeutig feststeht, welche Urnen welche der vier Kugeltripel enthalten?




Lösungen:

 

Wenn sich nur zwei Kugeln in den Urnen befinden, so ist die Lösung einfach:

Man muss nur eine Kugel aus der mit WS angeschriebenen Urne nehmen. Ist die Kugel weiss, so befinden sich in dieser Urne die beiden weissen, in der mit WW beschilderten Urne die beiden schwarzen Kugeln und folglich in der mit SS angeschriebenen Urne eine schwarze und eine weisse Kugel.

Ist die gezogene Kugel schwarz, so befinden sich in dieser Urne die beiden schwarzen, in der mit SS beschilderten Urne die beiden weissen Kugeln und folglich in der mit WW angeschriebenen Urne eine schwarze und eine weisse Kugel.

 

 


 

 

Es genügt im besten Fall, drei Kugeln zu ziehen:

Man zieht zuerst zwei Kugeln aus Urne 2:

– Sind beide weiss, so sind in Urne 2 alles weisse Kugeln. Man zieht dann die dritte Kugel aus Urne 3. Ist diese weiss, so müssen sich in Urne 3 zwei weisse und eine schwarze Kugel befinden, in Urne 1 folglich die drei schwarzen und in Urne 4 daher eine weisse und zwei schwarze.

Ist die dritte gezogene Kugel aus Urne 3 schwarz, so muss man noch mindestens eine vierte Kugel (aus Urne 3) ziehen.

– Zieht man eine weisse und eine schwarze Kugel aus Urne 2, dann befinden sich in Urne 2 eine weisse und zwei schwarze Kugeln. Man kann dann z.B. aus Urne 4 die dritte Kugel ziehen. Ist sie schwarz, so muss Urne 4 zwei weisse und eine schwarze enthalten, Urne 1 folglich die drei schwarzen und Urne 3 die drei weissen enthalten.

 

In allen andern (bis auf die Symmetriefälle der genannten Fälle) muss man mehr als drei Kugeln ziehen.